About Kac’s Program in Kinetic Theory

In this Note we present the main results from the recent work [15], which answers several conjectures raised fifty years ago by Kac [9]. There Kac introduced a many-particle stochastic process (now denoted as Kac’s master equation) which, for chaotic data, converges to the spatially homogeneous Boltzmann equation. We answer the three following questions raised in [9]: (1) prove the propagation of chaos for realistic microscopic interactions (i.e. in our results: hard spheres and true Maxwell molecules); (2) relate the time scales of relaxation of the stochastic process and of the limit equation by obtaining rates independent of the number of particles; (3) prove the convergence of the many-particle entropy towards the Boltzmann entropy of the solution to the limit equation (microscopic justification of the H-theorem of Boltzmann in this context). These results crucially rely on a new theory of quantitative uniform in time estimates of propagation of chaos. Résumé À propos du Programme de Kac en Théorie Cinétique. Dans cette Note, nous présentons les résultats principaux du travail récent [15], qui répond à plusieurs conjectures proposées il y a une cinquantaine d’années par Kac [9]. Dans ce travail Kac introduit un processus stochastique à grand nombre de particules (aujourd’hui appelé équation mâıtresse de Kac) qui converge, pour des données chaotiques, vers l’équation de Boltzmann spatialement homogène. Nous répondons aux trois questions suivantes soulevées dans cet article : (1) prouver la propagation du chaos pour des processus de collision réalistes (dans notre cas : sphères dures et ≪ vraies ≫ molécules maxwelliennes), (2) connecter les vitesses de relaxation du processus stochastique et de l’équation limite en obtenant des taux indépendants du nombre de particules, (3) prouver la convergence de l’entropie en grand nombre de particules vers l’entropie de Boltzmann pour la solution de l’équation limite (justification microscopique du théorème H dans ce contexte). Tous ces résultats font appel de manière cruciale à une nouvelle théorie d’estimations quantitatives et uniformes en temps de propagation du chaos. Version française abrégée Le programme de Kac en théorie cinétique consiste à comprendre comment déduire l’équation de Boltzmann spatialement homogène à partir d’un processus stochastique de saut sur l’espace des vitesses à grand Email addresses: [email protected] (Stéphane Mischler), [email protected] (Clément Mouhot). Preprint submitted to the Académie des sciences 15 novembre 2011 nombre de particules. Le but de ce programme est de comprendre la notion de ≪ chaos moléculaire ≫ dans un cadre plus simple que celui de la dynamique complète des particules, ainsi que de donner une justification microscopique au théorème H (croissance de l’entropie) et au processus de retour vers l’équilibre. Nous renvoyons à la version complète pour l’introduction de l’équation de Boltzmann (1), des processus de saut considérés, ainsi que pour les définitions de la notion de chaos et de la distance de Wasserstein W1. Théorème 1 (Résumé des résultats principaux) On considère d ≥ 2 et une distribution initiale f0 ∈ P (R) ∩ L à support compact ou possédant suffisamment de moments polynômiaux bornés, et que l’on suppose centrée sans perte de généralité. Soit ft la solution correspondante de l’équation de Boltzmann (1) pour les sphères dures ou les molécules maxwelliennes (sans troncature angulaire), et soit f t la solution du processus de saut à N particules correspondant, avec pour donnée initiale f 0 : soit (a) la tensorisation de f 0 de f0, ou (b) la tensorisée f ⊗N 0 conditionnée à la sphère SN (définie par (2)). (i) Propagation de chaos quantifiée et uniforme en temps : On considère le cas (a) où f 0 = f ⊗N 0 . Alors ∀N ≥ 1, ∀ 1 ≤ l ≤ N, sup t≥0 W1 ( Πlf N t , ( f t )) l ≤ α(N) avec α(N) → 0 lorsque N → ∞, et où Πlg désigne la l-marginale d’une probabilité g sur (R) . (ii) Propagation du chaos entropique : On considère le cas (b) où f 0 est conditionnée à SN . Alors la solution est entropie-chaotique : ∀ t ≥ 0, 1 N H ( f t |γ ) → H (ft|γ) , N → +∞ (voir (3) pour les définitions des fonctionnelles H) avec γ la probabilité gaussienne centrée d’énergie E égale à l’énergie de f0 et γ la mesure de probabilité uniforme sur SN . Cela fournit une dérivation microscopique du théorème H dans ce contexte. (iii) Taux de relaxation indépendants du nombre de particules : On considère le cas (b) où f 0 est conditionnée à SN . Alors ∀N ≥ 1, ∀ 1 ≤ l ≤ N, ∀ t ≥ 0, W1 ( Πlf N t ,Πl ( γ )) l ≤ β(t) avec β(t) → 0, t → 0. Dans le cas des molécules maxwelliennes, et si la donnée initiale possède une information de Fisher finie (voir (4)), on prouve également ∀N ≥ 1, 0 ≤ 1 N H ( f t |γN ) ≤ β(t) avec β(t) → 0, t → 0.